Question

过椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上一点H作圆x²+y²=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  4

  3

• C．1
• D．

  2

  3

Answer 1

分析：由点H在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x²+y²=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．

解答：解：∵点H在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上，∴H（3cosθ，2sinθ），
∵过椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x²+y²=2的两条切线，点A，B为切点，
∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，
∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，
∴P（

2

3cosθ

，0），Q（0，

1

sinθ

），
∴△POQ面积S=

1

2

×

2

3cosθ

×

1

sinθ

=

2

3

×

1

sin2θ

，
∵-1≤sin2θ≤1，
∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值

2

3

．

点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．