题目内容
正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为 ．
【答案】分析：先设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h=R+x
从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．
解答：解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x
则：
而正四棱锥的高为h=R+x
故正四棱锥体积为：
V（x）=
=
=
其中x∈（0，R）
∵
=
R3
当且仅当x=
时，等号成立
那么这个正四棱锥体积的最大值为：
R3
故答案为：
R3
点评：本题主要考查了球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．
从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．
解答：解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x
则：
而正四棱锥的高为h=R+x
故正四棱锥体积为：
V（x）=
=
=
其中x∈（0，R）
∵
=
R3当且仅当x=
时，等号成立那么这个正四棱锥体积的最大值为：
R3故答案为：
R3点评：本题主要考查了球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．
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