Question

如图，正四棱锥S-ABCD中，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．
（1）求证：直线SA∥平面BDE；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值；
（3）求直线BD和平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证直线SA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证SA与平面BDE内一直线平行，连接AC交BD于点O，连接OE，根据中位线可知SA∥OE，又OE?平面BDE，SA?平面BDE，满足定理所需条件；
（2）连接SO，取SB中点F，连接AF、OF，SB⊥AF，根据三垂线定理的逆定理，得OF⊥SB，从而∠AFO是二面角A-SB-D的平面角．在AOF中，求出此角的余弦值即可；
（3）过D作平面SBC的垂线，垂足在交线BE上，根据线面所成角的定义可知∠DBE为直线BD和平面SBC所成的角，然后在三角形DBE中求出线BD和平面SBC所成的角的正弦值的即可．

解答：（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE，
∵S-ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
∵E是侧棱SC的中点，∴SA∥OE，
又OE?平面BDE，SA?平面BDE，
∴直线SA∥平面BDE．（4分）
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠SAD=60°为异面直线SA和BC所成的角，△SAD是等边三角形．
根据正棱锥的性质得，△SCD、△SAB、△SBC也是等边三角形．
连接SO，取SB中点F，连接AF、OF，
∵O是正方形ABCD的中心，根据正棱锥的性质得，SO⊥平面ABCD，
∴AO⊥SO，又AO⊥BD，∴AO⊥平面SBD．
∵SB⊥AF，根据三垂线定理的逆定理，得OF⊥SB，
∴∠AFO是二面角A-SB-D的平面角．AOF中，OF=

1

2

SD，AF=

3

2

SA=

3

2

SD，cos∠AFO=

OF

AF

=

3

3

，
∴二面角A-SB-D的余弦值是

3

3

．（9分）
（3）解：∵E是侧棱SC的中点，∴BE⊥SC，DE⊥SC，∴SC⊥平面BDE，
∴平面SBC⊥平面BDE，过D作平面SBC的垂线，垂足在交线BE上，
即BE为BD在平面SBC上的射影，∴∠DBE为直线BD和平面SBC所成的角，
∵OE=

1

2

SA，BE=

3

2

SB=

3

2

SA，
∴sin∠DBE=sin∠OBE=

OE

BE

=

3

3

，
∴线BD和平面SBC所成的角的正弦值为

3

3

．（14分）

点评：本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及线线角、线面角和二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等，值得一做．