Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=AA₁=2，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-ADC的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵A₁B₁=A₁C₁，点D是棱B₁C₁的中点．


∴A₁D⊥B₁C₁．
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得BB₁⊥B₁C．
∵BB₁∩B₁C₁=B₁．
∴A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）∵A₁B₁=A₁C₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，
∴B1C1=2

2

．
∵点D是棱B₁C₁的中点，∴A1D=

2

．
∵A₁A∥平面BB₁C₁C，∴点A与A₁到平面BB₁C₁C的距离相等，
∴VB1-AD=VA-B1CD=

1

3

×

1

2

×

2

×2×

2

=

2

3

．