Question

2．在四棱锥S一ABCD中，底面ABCD为正方形，S在底面的射影为底面中心O，且SA=SB=SC=SD=AB=2，以O为坐际原点建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求证：SC⊥BD；
（2）求SA与平面SBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得SO⊥BD，从而BD⊥平面SAC，由此能证明SC⊥BD．
（2）求出$\overrightarrow{SA}$和平面SBC的法向量，利用向量法能求出SA与平面SBC所成角的余弦值．

解答 （1）证明：∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵S在底面的射影为底面中心O，
∴SO⊥底面ABCD，又BD?平面ABCD，
∴SO⊥BD，
又AC∩BD=O，∴BD⊥平面SAC，
又SC?平面SAC，∴SC⊥BD．
（2）解：∵在四棱锥S一ABCD中，底面ABCD为正方形，
S在底面的射影为底面中心O，且SA=SB=SC=SD=AB=2，
以O为坐际原点建立如图所示的空间直角坐标系，
∴S（0，0，$\sqrt{2}$），A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），
$\overrightarrow{SA}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{SB}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{SC}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），
设平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=x+y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=-x+y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
设SA与平面SBC所成角为θ，
则sinθ=|$\frac{\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{SA}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{4}×\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴SA与平面SBC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．