Question

（2013•石家庄二模）已知正方形AP₁P₂P₃的边长为2，点B、C分别为边P₁P₂，P₂P₃的中点，沿AB、BC、CA折叠成一个三棱锥P-ABC（使P₁，P₂，P₃重合于点P），则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（　　）

• A．8

  3

  π
• B．36π
• C．12π
• D．6π

Answer 1

分析：根据题意，得折叠成的三棱锥P-ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P-ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=2、BP=CP=1算出外接球的半径R=

6

2

，结合球的表面积公式即可算出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．

解答：解：根据题意，得
三棱锥P-ABC中，AP=2，BP=CP=1
∵PA、PB、PC两两互相垂直，
∴三棱锥P-ABC的外接球的直径2R=

AP2+BP2+CP2

=

6

可得三棱锥P-ABC的外接球的半径为R=

6

2

根据球的表面积公式，得三棱锥P-ABC的外接球的表面积为
S=4πR²=4π×（

6

2

）²=6π
故选：D

点评：本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、三棱锥的外接球和球的表面积公式等知识，属于中档题．