Question

如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：（x+1）²+y²=16上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）试判断以PB为直径的圆与圆x²+y²=4的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题设，依据椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，依椭圆定义写出标准方程．
（2）求出两圆的圆心距以及两圆的半径，根据两圆的位置关系判断即得，两圆的位置关系有五种，应根据条件判断出应是那一种．
解答：解：（I）由点M是BN中点，又=0，
可知PM垂直平分BN．所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，
所以|PA|+|PB|=4．
由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
如图焦点在x轴上，
由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
可知动点P的轨迹方程为=1   （6分）
（II）解：设点P（x，y），PB的中点为Q，，则Q（），
|PB|====2-x，
即以PB为直径的圆的圆心为Q（），，半径为1-x，，
又圆x²+y²=4的圆心为O（0，0），半径r₂=2，
又|OQ|===1+
故|OQ|=r₂-r₁，即两圆内切．（13分）
点评：考查椭圆的定义法求椭圆的方程以及两圆的位置关系的判断．考查基础知识的题型．