Question

19、如图，点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。

Answer 1

19．[解]（1）由已知可得点A（－6,0）,F(4,0),

  设点P的坐标是（x,y）,则={x+6,y}, ={x－4,y},由已知得

   

（x+6）(x-4)+y²=0

则2x²+9x－18=0.  x=或x=－6.

由于y>0,只能x=.于是y=.

∴点P的坐标是（，）.

(2)直线AP的方程是x－y+6=0.

设点M的坐标是（m,0）,则M到直线AP的距离是，

于是=|m－6|, 又－6≤m≤6,解得m=2,

椭圆上的点（x,y）到点M的距离d有

d²=(x－2)²+y²

=x²－4x+4+20－x²

=

由于－6≤x≤6,

∴x=时，d取得最小值。