Question

定义运算，设函数f（x）=（2x+1）*（x+1），且关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：先由新定义得出函数f（x）的解析式，进而画出其图象并求出方程f（x）=m取得三个根的条件，最后再求出x₁x₂x₃的取值范围即可．
解答：解：由定义可知：f（x）=，画出图象如图所示：
∵当x≤0时，f（x）=≥-2；当x＞0时，f（x）=＜0．
∴当-2＜m＜0时，关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，
不妨设x₁＜x₂＜x₃，则x₁，x₂是方程的两个根，x₃是方程-x²-x=m的正根．
∴，．
∴x₁x₂x₃=（-2＜m＜0）．
令，即1-4m=t²．又∵-2＜m＜0，∴1＜t＜3．
φ（t）=，
则，
∵1＜t＜3，∴φ^′（t）＞0，∴函数φ（t）在区间（1，3）上单调递增，∴φ（1）＜φ（t）＜φ（3），即0＜φ（t）＜．
∴x₁x₂x₃的取值范围是．
故答案为．
点评：本题考查的是新定义、方程的根的存在性及根的个数，由新定义正确得出函数的解析式并画出图象，进而求出方程f（x）=m取得三个根的条件是解题的关键．