Question

如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

 

Answer 1

方法一：

(1) 证法一：取的中点，连.

∵为的中点，∴且.

∵平面，平面，

∴，∴.                   

又，∴.             

∴四边形为平行四边形，则.   

    ∵平面，平面，

∴平面.                         

 

证法二：取的中点，连.

∵为的中点，∴.                    

∵平面，平面，∴.           

又，

∴四边形为平行四边形，则.               

∵平面，平面，

∴平面，平面.

又，∴平面平面.            

    ∵平面，

∴平面.                    

(2) 证：∵为等边三角形，为的中点，∴.    

∵平面，平面，∴.          

又，故平面.                  

∵，∴平面.                      

∵平面，

∴平面平面.                 (3)

解：在平面内，过作于，连.

  ∵平面平面， ∴平面.

∴为和平面所成的角.                 

设，则，

，

R t△中，.

∴直线和平面所成角的正弦值为.

                                                                                                                                 

方法二：

设，建立如图所示的坐标系，则

.

∵为的中点，∴.                

 (1) 证：，       

∵，平面，∴平面. 

 (2) 证：∵，       

∴，∴.    

∴平面，又平面，

∴平面平面.                   

 (3) 解：设平面的法向量为，由可得：

     ，取.     

     又，设和平面所成的角为，则

    .

∴直线和平面所成角的正弦值为.