Question

如图：已知平面四边形ABCD,AC、BD相交于O,AB=AD,CB=CD,

∠ABC=120°,且PA⊥平面ABCD.

(1)若AB=PA=,求P到直线BC的距离;

(2)求证平面PBD⊥平面PAC.

Answer 1

（1）（2）见解析

解析:

(1)延长CB,过A在平面内作AE⊥CB,垂足为E.

∵∠ABC=120°,∴∠ABE=60°,在Rt△ABE中：AE=AB·sin60°=·=

∵PA⊥平面,AE⊥EB,∴AE是PE在平面内的射影,

∴PE⊥EB,∴PE为点P到BC的距离.在Rt△PAE中：PE=.

                   

(2)在四边形ABCD中,取BD中点O,连AO、CO,

∵AB=AD,CD=CB,BO=OD,

∴AO⊥BD,CO⊥BD,

∴A、O、C共线,∴AC⊥BD.

又PA⊥,∴PA⊥BD,

∴BD⊥平面PAC,∵BD平面PBD,

∴平面PBD⊥平面PAC.