Question

【题目】已知椭圆 的左右焦点分别为，，离心率为.若点为椭圆上一动点，的内切圆面积的最大值为.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点作斜率为的动直线交椭圆于两点，的中点为，在轴上是否存在定点，使得对于任意值均有，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）首先根据椭圆的离心率，可得，设内切圆半径为，从而得到三角形的面积，又因为，根据当为椭圆的上、下顶点时，的面积最大，求得，从而得到椭圆的方程；

（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，得到两根和与两根积，已知可得 ,利用向量数量积坐标公式，对任意的k值此方程无解，所以不存在点N使得结论成立.

(1)由，得

设内切圆半径为，则，

又，

当为椭圆的上、下顶点时，的面积最大

，

又

，又，解得

所以所求椭圆的方程为

(2)设动直线方程为,点的坐标为，

联立，得

设，则

由已知可得 ,则

=0

∵对任意的k值此方程无解

∴不存在点N使得结论成立.