Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），令
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令T_n=b₁+b₂•2+b₃•2²+…b_n•2^n-1，
求证：①对于任意正整数n，都有．②对于任意的m，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀时，T_n＞m．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（1分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1，n≥3．…（3分）
检验知n=1，2时，结论也成立
故a_n=2ⁿ+1．…（4分）
（Ⅱ） ①由于
=
=．
故T_n=b₁+b₂•2+b₃•2²+…+b_n•2^n-1
=+…+
=
＜
=．…（9分）
②若T_n＞m，其中m∈，则有，
则，
故，
取
=[]（其中[x]表示不超过x的最大整数），
则当n＞n₀时，T_n＞m．…（14分）
分析：（Ⅰ）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），所以a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），由此能够求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）①由于==．由此能够证明对于任意正整数n，都有．
②若T_n＞m，其中m∈，则有，则，故，由此能够证明对于任意的m，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀时，T_n＞m．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，综合性强，难度大，计算量大，比较繁琐，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．