Question

设二次函数，对任意实数，恒成立；正数数列满足.
（1）求函数的解析式和值域；
（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）若已知，求证：数列是等比数列

Answer 1

解：（1）其值域为.…………4分
（2）解：当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：
设，则，所以对一切，均有；………6分

，
从而得，即，所以数列在区间上是递增数列.………8分
注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.
另解：若数列在某个区间上是递增数列，则
即……6分
又当时，，所以对一切，均有且，所以数列在区间上是递增数列.
（3）证明略

本试题主要是考查了函数的解析式和值域以及函数单调性的运用，以及等比数列的定义的综合问题。
（1）由恒成立等价于恒成立转化为判别式的不等式得到参数k的值，进而求解。
（2）利用数列的单调性的定义，若数列在某个区间上是递增数列，则
即
（3）由（2）知，从而，即得到数列的递推关系，进而求解得到。