Question

（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点.
（1）求椭圆的方程;
（2）求的取值范围；
（3）若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.

Answer 1

(1)（2）（3）见解析

试题分析：(1)由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（）
因为，所以，                                  ①
又因为过点，所以，                        ②
联立①②解得，故椭圆方程为.                        ……4分
(2)将代入并整理得，
因为直线与椭圆有两个交点，
所以，解得.                        ……8分
（3）设直线的斜率分别为和，只要证明即可.
设，，
则.
所以

所以，所以直线与轴围成一个等腰三角形.                 ……12分
点评：纵观历年高考，椭圆是一个高频考点，题型有选择题和填空题，难度不大，但解答题是压轴题，难度较大，所以在学习中，同学们一方面要掌握好椭圆的标准方程和几何性质等基础知识，另外还要多归纳这些知识的使用方法和应用技巧，做到心中有数，从容应对.