Question

15．设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，O为坐标原点，且△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S₁、S₂、S₃，则S₁²+S₂²+S₃²=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 确定抛物线y²=4x的焦点F的坐标，求出S₁²+S₂²+S₃²，利用点F是△ABC的重心，即可求得结论．

解答 解：设A、B、C三点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），则
∵抛物线y²=4x的焦点F的坐标为（1，0）
∴S₁=$\frac{1}{2}$|y₁|，S₂=$\frac{1}{2}$|y₂|，S₃=$\frac{1}{2}$|y₃|，
∴S₁²+S₂²+S₃²=$\frac{1}{4}$（y₁²+y₂²+y₃²）=x₁+x₂+x₃，
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，∴点F是△ABC的重心
∴x₁+x₂+x₃=3
∴S₁²+S₂²+S₃²=3
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义，考查三角形重心的性质，属于中档题．