Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=

x-1

相切，且右焦点F为抛物线y²=20x的焦点，则双曲线的标准方程为（　　）

• A、

  x2

  20

  -

  y2

  5

  =1
• B、

  x2

  5

  -

  y2

  20

  =1
• C、

  x2

  4

  -y2=1
• D、x²-

  y2

  4

  =1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的右焦点F为抛物线y²=20x的焦点，可得a²+b²=25①，利用双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=

x-1

相切，可得1-

4b2

a2

=0②，由①②可得a²=20，b²=5，即可求出双曲线的标准方程．

解答： 解：∵双曲线的右焦点F为抛物线y²=20x的焦点，
∴F（5，0），即a²+b²=25①．
y=

b

a

x代入y=

x-1

，可得

b2

a2

x2-x+1=0，
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=

x-1

相切，
∴△=1-

4b2

a2

=0②，
由①②可得a²=20，b²=5，
∴双曲线的标准方程为

x2

20

-

y2

5

=1．
故选：A．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，难度中等．