Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0相切，过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若 =3 ，求直线l的方程；
（3）求△F1MN面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得e= = ，

由直线x﹣y+ =0与圆x2+y2=b2相切，可得

=b=1，

又a2﹣c2=1，

解得a=2，c= ，

即有椭圆的方程为 +y2=1

（2）解：F2（ ，0），

设M（x1，y1），N（x2，y2），

设直线l：x=my+ ，代入椭圆方程可得，

（4+m2）y2+2 my﹣1=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由 =3 ，可得y1=﹣3y2，

解方程可得m=± ，

即有直线l的方程为x=± y+

（3）解：△F1MN面积为S= 2c|y1﹣y2|=

= = ，

令1+m2=t（t≥1），则S=4 ≤4 =2，

当t=3，即m=± 时，S取得最大值，且为2

【解析】（1）运用离心率公式和直线与相切的条件：d=r，结合a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（2）求得右焦点，设出M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），设直线l：x=my+ ，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而得到直线的方程；（3）运用弦长公式和换元法，运用三角形的面积公式可得S= 2c|y1﹣y2|，化简整理运用基本不等式，即可得到最大值．