Question

已知：点A（2，2）、点B（4，4）、点C（4，2）是⊙D上的三个点．
（Ⅰ）求⊙D的一般方程；
（Ⅱ）直线l：x-y-4=0，点P在直线l上运动，过点P作⊙D的两贴切线，切点分别是M、N，求当PD⊥l时四边形PMDN的面积，并求这时点P的坐标．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设⊙D的一般方程为x²+y²+dx+ey+f=0，
由题意列式求出d，e，f，则⊙D的一般方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊙D的圆心D（3，3），根据PD⊥l可得PD方程，联立两直线方程求得P（5，1），再由圆心D到直线l的距离结合直角三角形求得半径r，
根据对称性可得SPMDN=2S△PMD=2×

1

2

|PM|•|MD|=r

|PD|2-r2

=

2

•

|PD|2-2

．则四边形PMDN的面积可求．

解答： 解：（Ⅰ）设⊙D的一般方程为x²+y²+dx+ey+f=0，
则

22+22+2d+2e+f=0 42+42+4d+4e+f=0 42+22+4d+2e+f=0

，解得

d=-6 e=-6 f=16

．
∴⊙D的一般方程为x²+y²-6x-6y+16=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊙D的圆心D（3，3），
由PD⊥l，可设PD：x+y+m=0，解得：m=-6．
∴

x+y-6=0 x-y-4=0

，解得：P（5，1），
这时圆心D到直线l的距离|PD|=h=

|3-3-4|

2

=2

2

．
⊙D的半径r=

(-6)2+(-6)2-4×16

2

=

2

．
h＞r，∴直线l与⊙D无公共点，
根据对称性，SPMDN=2S△PMD=2×

1

2

|PM|•|MD|
=r

|PD|2-r2

=

2

•

|PD|2-2

．
故SPMDN=

2

•

(2 2 )2-2

=2

3

．
综上，当P（5，1）时，SPMDN=2

3

．

点评：本题考查了直线的一般式方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．