Question

【题目】椭圆 的离心率为 ，右焦点到直线 的距离为 ，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l交x轴于N， ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设右焦点为（c，0）（c＞0）

∵右焦点到直线 的距离为 ，

∴

∴

∵椭圆 的离心率为 ，

∴

∴

∴

∴椭圆的方程为 ；

（2）解：设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）

∵ ，

∴ x2﹣x0，y2）

∴ ①

易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立

于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．

与椭圆方程联立 ，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②

∴ ③ ④

由①③可得 ， 代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0

∴k2=1

此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0

∴直线l的方程为y=±x﹣1

【解析】（1）根据右焦点到直线 的距离为 ，可得 ，利用椭圆 的离心率为 ，可得 ，从而可得 ， ，故可求椭圆的方程；（2）设A （x1 ， y1），B（x2 ， y2），N（x0 ， 0），利用 ，可得 x2﹣x0 ， y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立 ，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．