Question

【题目】已知抛物线C：y2=x，过点M（2，0）作直线l：x=ny+2与抛物线C交于A，B两点，点N是定直线x=﹣2上的任意一点，分别记直线AN，MN，BN的斜率为k1 ， k2 ， k3 ．
（1）求 的值；
（2）试探求k1 ， k2 ， k3之间的关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）

由 可得 y2﹣ny﹣2=0

由韦达定理可得 y1+y2=n，y1y2=﹣2

∴ =x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=4﹣2=2，

（2）解：当n=0时，A（2， ）、

不妨取N（﹣2，2），则k1= ，k2= ，k3=

易得k1+k3=2k2．

设N（﹣2，y0），k2=﹣

k1+k3= + = = =﹣ =2k2

∴k1+k3=2k2，k1，k2，k3成等差数列．

【解析】（1）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 可得y2﹣ny﹣2=0，再由韦达定理得 的值；（2）三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，证明k1+k3=2k2即可．