Question

椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，直线l过F₂与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过O，求直线l的方程．

Answer 1

分析：求出椭圆的焦点，设出直线的方程，联立方程组，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂，x₁•x₂，推出y₁•y₂，利用

OA

⊥

OB

，通过x₁•x₂+y₁•y₂=0，求出k 的值，判断斜率不存在时的情况，即可求出直线方程．

解答：解：设F₂（

2

，0），设直线l的方程为y=k（x-

2

），
由

x2 4 + y2 2 =1 y=k(x- 2 )

得（1+2k²）x²-4

2

k²x+4（k²-1）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4 2

1+2k2

，x₁•x₂=

4(k2-1)

1+2k2

，
又y₁=k（x₁-

2

），y₂=k（x₂-

2

），∴y₁•y₂=k²x₁•x₂-

2

k²（x₁+x₂）+2k²．
又

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），
直线l过F₂与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过O，

OA

⊥ 

OB

，

OA

•

OB

=0，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0，
即

4(k2+1)

1+2k2

+k²×

4(k2+1)

1+2k2

-

2

k²（

4 2

1+2k2

）+2k²=0，
解得k=±

2

，
当k不存在时，

OA

与

OB

不垂直．
∴所求直线方程为：y=±

2

（x-

2

）．

点评：本题是中档题，考查直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理的应用，直线与直线的垂直条件的应用，考查计算能力．