Question

如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与△ABC成直二面角,如图二，在二面角中.

(1)求证：BD⊥AC；
(2)求D、C之间的距离；
(3)求DC与面ABD成的角的正弦值。

Answer 1

(1)根据线面垂直的性质定理来得到线线垂直的证明。关键的一步是利用面ABD面ABC，得到BD面ABC，加以证明。
(2) 2 (3)

试题分析： 解：(1)依题意，面ABD面ABC，AB是交线，
而BDAB，BD面ABC，又AC面ABC，
 BD⊥AC；          4分
(2)由(1)知，BD面ABC，而BC面ABC，
 BD⊥BC；RtDBC中，BC=BA=2，BD=2，
DC===2；       8分
(3)取AB的中点H，连CH、DH和DC，

△ABC是正三角形，
CHAB，又面ABC面ABD，
 CH面ABD，
DH是DC在面ABD内的射影，
CDH是DC与面ABD成的角。
而CH=BC=，由(2)DC=2，
sinCDH===即为所求。      12分
点评：解决该试题的关键是熟练的运用判定定理和性质定理得到垂直的证明，以及角的求解，属于基础题。