Question

（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．1

Answer 1

（1）直线与平面所成角的正弦值为．
（3）点满足时，有// 平面．

本试题主要是考查了空间几何中点，线，面的位置关系的运用。
（1）因为平面平面，且
所以BC⊥平面，则即为直线与平面所成的角
（1）假设存在点，且时，有// 平面，建立直角坐标系来证明。
解：（1）证明：取中点，连结，．
因为，所以．                           
因为四边形为直角梯形，，，
所以四边形为正方形，所以．  
所以平面．    所以 ．           4分
（2）解法1：因为平面平面，且
所以BC⊥平面
则即为直线与平面所成的角
设1C=a，则AB=2a，，所以
则直角三角形CBE中，
即直线与平面所成角的正弦值为．               8分
解法2：因为平面平面，且，
所以平面，所以．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，
则．
所以，平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
所以，           
即直线与平面所成角的正弦值为．       8分
（3）解：存在点，且时，有// 平面．       
证明如下：由，，所以．
设平面的法向量为，则有
所以  取，得．
因为，且平面，所以// 平面．
即点满足时，有// 平面．               12分
点评：解决的关键是利用空间中的法向量来得到线面角的表示，以及平行的证明，属于基础题。