Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）证明平面．

  

Answer 1

（I）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO．

  ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

  在中，EO是中位线，∴PA // EO

  而平面EDB且平面EDB，

  所以，PA // 平面EDB---------------------------6分

（II）证明：

∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴．    ①------------------------------------8分

同理：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．

而平面PDC，∴．    ②----------------10分

由①和②推得平面PBC．

而平面PBC，∴

又且，所以PB⊥平面EFD．----------12分