题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^，点 $数学公式$ 都在函数 $数学公式$ 的图象上．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（Ⅲ）令 $数学公式$ （n∈N^），求证：2≤g（n）＜3．

解：（I）因为点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，
故 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．令n=1，得 $\text{[math]}$ ，所以a₁=2；
令n=2，得 $\text{[math]}$ ，a₂=4；令n=3，得 $\text{[math]}$ ，a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，有上面的求解知，猜想成立．
②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时猜想成立，即a_k=2k成立，
则当n=k+1时，注意到 $\text{[math]}$ （n∈N^*），
故 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
两式相减，得 $\text{[math]}$ ，所以a_k+1=4k+2-a_k．
由归纳假设得，a_k=2k，故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）．
这说明n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N^*，a_n=2n成立．
（II）因为a_n=2n（n∈N^*），所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），．
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010；
（III）有（I）中知a_n=2n，∴ $\text{[math]}$ ，
当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；
当n≥2时， $\text{[math]}$
显然 $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ （k≥2） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由题意因为点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，所以可以求出 $\text{[math]}$ ，由此猜想：a_n=2n，利用数学归纳法即可求证；
（II）因为a_n=2n（n∈N^*），所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；
（III）由（I）中知a_n=2n，∴ $\text{[math]}$ ，当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；n≥2时， $\text{[math]}$ ，利用二项式定理进行适当放缩即可得证．
点评：此题考查了利用数学归纳法求解并进行证明数列的通项公式，还考查了学生的理解题意综合能力，尤其考查了利用二项式定理及不等式的放缩的能力，属于数学习题中的难题及拔高题．