Question

如图，已知正三棱柱中，，，为上的动点.

（1）求五面体的体积；
（2）当在何处时，平面，请说明理由；
（3）当平面时，求证：平面平面.

Answer 1

（1）4；（2）为的中点；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要以正三棱柱为几何背景,考查椎体体积、线面平行、面面垂直的判定，运用传统几何法求解证明，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，由图形判断五面体就是四棱锥，所以主要任务就是求高和底面面积；第二问，利用直线与平面平行的性质定理，证明出，所以为中点；第三问，结合第二问的结论，由线面垂直的判定定理，得出⊥平面，再由面面垂直的判定定理得出结果.
试题解析：（Ⅰ）如图可知五面体是四棱锥，

∵侧面垂直于底面，
∴正三角形的高就是这个四棱锥的高，
又，．
于是．      4分
（Ⅱ）当点为中点时，∥平面．

连结连结，∵四边形是矩形，
∴为中点，
∵∥平面，平面平面＝，
∴，∴为的中点．                      8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当∥平面时，为的中点．
∵为正三角形，为的中点，∴，
由平面，∴，
又，∴⊥平面，
又平面，∴平面⊥平面．                      12分