Question

（2012•威海一模）现有正整数1，2，3，4，5，…n，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步．
（I）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为ξ，求Eξ；
（II）求质点恰好到达正整数5的概率．

Answer 1

分析：（I）由于ξ表示抛掷骰子二次，质点到达的正整数，由题意则ξ的取值有3，4，5，并利用随机变量得到定义求出每一个值下对应的事件的概率，有分布列定义求出其分布列，并根据期望定义求出期望．
（II）由题意质点恰好到达正整数5有三种情形，①抛掷骰子四次，出现点数全部小于等于4；②抛掷骰子三次，出现点数二次小于等于4，一次大于4；③抛掷骰子二次，出现点数全部大于4．利用独立事件的概率公式各自的概率，最后相加即可；

解答：解：（I）由题意得，ξ的取值有3，4，5，
∵p（ξ=3）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P（ξ=4）=

C

1 2

2

3

×

1

3

=

4

9

，
P（ξ=4）=

1

3

×

1

3

=

1

9

．
所以 Eξ=3×

4

9

+4×

4

9

+5×

1

9

=

11

3

．
（II）质点恰好到达正整数5有三种情形：
①抛掷骰子四次，出现点数全部小于等于4，概率为P₁=(

2

3

)4；
②抛掷骰子三次，出现点数二次小于等于4，一次大于4，概率为P₂=

C

2 3

(

2

3

)2

1

3

；
③抛掷骰子二次，出现点数全部大于4，概率为P₃=(

1

3

)2．
∴质点恰好到达正整数5的概率P=P₁+P₂+P₃=

16

81

+

4

9

+

1

9

=

61

81

．

点评：此题重在准确理解题意，主要考查了独立事件同时发生的概率公式，随机变量的定义及其分布列，并利用随机变量的分布列求其期望．