Question

（2012•四川）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁＞0，数列{lg

10a1

an

}的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

Answer 1

分析：（I）由题意，n=2时，由已知可得，a₂（a₂-a₁）=a₂，分类讨论：由a₂=0，及a₂≠0，分别可求a₁，a₂
（II）由a₁＞0，令bn=lg

10a1

an

，可知bn=1-lg(

2

)n-1=1-

1

2

(n-1)lg2=

1

2

lg

100

2n-1

，结合数列的单调性可求和的最大项

解答：解：（I）当n=1时，a₂a₁=s₂+s₁=2a₁+a₂①
当n=2时，得a22=2a1+2a2②
②-①得，a₂（a₂-a₁）=a₂③
若a₂=0，则由（I）知a₁=0，
若a₂≠0，则a₂-a₁=1④
①④联立可得a1=

2

+1，a2=

2

+2或a1=1-

2

，a2=2-

2

综上可得，a₁=0，a₂=0或a1=

2

+1，a2=

2

+2或a1=1-

2

，a2=2-

2

（II）当a₁＞0，由（I）可得a1=

2

+1，a2=

2

+2
当n≥2时，(2+

2

)an=s2+sn，(2+

2

)an-1=s2+sn-1
∴(1+

2

)an=(2+

2

)an-1
∴an=

2

an-1（n≥2）
∴an=a1•(

2

)n-1=(1+

2

)•(

2

)n-1
令bn=lg

10a1

an

由（I）可知bn=1-lg(

2

)n-1=1-

1

2

(n-1)lg2=

1

2

lg

100

2n-1

∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为-

1

2

lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₇=lg

10

8

＞ 0
当n≥8时，bn≤b8=

1

2

lg

100

128

＜

1

2

lg1=0
∴数列{lg

1

an

}的前7项和最大，T7=

7(b1+b7)

2

=

7(1+1-3lg2)

2

=7-

21

2

lg2

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．