Question

已知函数图像上点处的切线与直线平行（其中），     
(I）求函数的解析式；
(II）求函数上的最小值；
(III）对一切恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（I） （II） .
（III）实数的取值范围为.

解析试题分析：（I）由点处的切线方程与直线平行，得该切线斜率为2，即
又所以 4分
（II）由（I）知，显然当所以函数上单调递减.当时，所以函数上单调递增，
①
②时，函数上单调递增，
因此        7分
所以  10分
（III）对一切恒成立，又
即设
则由
单调递增，
单调递减，
单调递增，

所以
因为对一切恒成立，

故实数的取值范围为  14分 
考点：导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性及极（最）值，不等式恒成立问题。
点评：难题，本题（1）较为简单，主要利用“曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值”。本题（2）主要利用“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”，研究函数的单调区间。（3）作为不等式恒成立问题，通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），使问题得到解决。