Question

（2009•普陀区二模）在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（　　）

A．必要非充分条件

B．充分非必要条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

Answer 1

分析：先判别充分性，根据三角函数相关知识和恒等变换容易得到cos（B-C）=0，从而得到即B或C为钝角，充分性成立，再判别必要性，显然由“△ABC为钝角三角形”推不出条件“cosA=2sinBsinC”，故必要性不成立．

解答：解：先证充分性：
∵2sinBsinC=cosA=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC，即cos（B-C）=0，
∴B-C=90°或-90°，
∴B或C为钝角，
∴“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件；
但是，ABC为钝角三角形显然导不出cos（B-C）=0这么强的条件，
故“cosA=2sinBsinC”不是“△ABC为钝角三角形”的必要条件，
则“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．
故选B

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有必要条件、充分条件与充要条件的判别，以及三角函数相关知识．在证明充分性时，灵活运用诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式把已知的等式进行变形，得出B-C的度数是解题的关键．