Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于，两点.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）曲线的直角坐标方程，直线的普通方程为；（2）。

【解析】

（1）利用代入法消去直线的参数方程中的参数，可得其普通方程，曲线的极坐标方程两边同乘以，利用 即可得到曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义可得结果.

（1）由得，

所以曲线的直角坐标方程，

因为，所以，

直线的普通方程为；

（2）直线的参数方程为（为参数），

代入得：，

设，对应的参数分别为，，

则，，，

由参数，的几何意义得，，，

由得，所以，

所以，即，

故，或（舍去），

所以.