Question

1．若x，y∈R⁺，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y+1}$=1，则2x+y的最小值是2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y+1}$=1，使 2x+y=[2x+（y+1）]（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y+1}$）-1展开后，根据均值不等式求得最小值即可．

解答 解：∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y+1}$=1
∴2x+y=（2x+y+1）-1=[2x+（y+1）]（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y+1}$）-1=（2+$\frac{2x}{y+1}$+$\frac{y+1}{x}$+1）-1≥2+2$\sqrt{\frac{2x}{y+1}•\frac{y+1}{x}}$=2+2$\sqrt{2}$
（当且仅当$\frac{2x}{y+1}$=$\frac{y+1}{x}$取等号．）
则2x+y的最小值是2+2$\sqrt{2}$．
故答案为2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了基本不等式的应用．解题的关键灵活利用了 2x+y=[2x+（y+1）]（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y+1}$）-1，构造出了均值不等式的形式，简化了解题的过程．