Question

已知曲线C: , 过点Q作C的切线, 切点为P.

(1) 求证：不论怎样变化, 点P总在一条定直线上;

(2) 若, 过点P且与垂直的直线与轴交于点T, 求的最小值(O为原点).

Answer 1

命题意图  本题主要考查导数的几何意义以及函数切线方程的求法。

知识依托 导数的几何意义，直线方程的形式，基本不等式

错解分析 对题中的数据的实际意义不理解，以及基本不等式中的第三个条件等号成立时要满足条件没有讨论。

技巧与方法  直接利用导数的几何意义求切线的斜率；在第（2）小题中，把y表示成x的函数代入并利用基本不等式求最小值。

解: (1)设Ｐ点坐标为, 则由则以Ｐ点为切点

的切线斜率为若则不符合题意.

∵切线过点, ∴斜率为．

∴, ∴,  ∴切点Ｐ总在直线上.

(2) 解法一: ∵l的斜率为，∴ＰＴ的斜率为，

∴ＰＴ的方程为.

令,得ＰＴ与x轴交点的横坐标为.

在(1)中, , 又∴. ∴

∴

(当且仅当, 即时等号成立).　∴的最小值为.

解法二：直线l的斜率为, 则垂线斜率为，

垂线方程为.

令, 解得与x轴的交点T的横坐标为

当且仅当3，即时, 等号成立. ∴的最小值为.