Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比为

2

（1）求曲线C的方程．
（2）过点M（1，2）的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比为

2

，建立方程，化简可得曲线C的方程．
（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程．

解答：解：（1）由题意得|PA|=

2

|PB|…（2分）；
故

(x+1)2+y2

=

2

(x-1)2+y2

                    …（3分）；
化简得：x²+y²-6x+1=0（或（x-3）²+y²=8）即为所求．  …（5分）；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
将x=1代入方程x²+y²-6x+1=0得y=±2，
所以|MN|=4，满足题意．                                 …（8分）；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-k+2
由圆心到直线的距离d=2=

|3k-k+2|

1+k2

                    …（10分）；
解得k=0，此时直线l的方程为y=2．
综上所述，满足题意的直线l的方程为：x=1或y=2．      …（12分）．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．