Question

（2012•崇明县二模）（理）若已知曲线C₁方程为x2-

y2

8

=1(x≥0，y≥0)，圆C₂方程为（x-3）²+y²=1，斜率为k（k＞0）直线l与圆C₂相切，切点为A，直线l与曲线C₁相交于点B，|AB|=

3

，则直线AB的斜率为（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．

  3

  3

• D．

  3

Answer 1

分析：先确定点B的坐标，再利用斜率为k（k＞0）直线l与圆C₂相切，即可求得直线AB的斜率．

解答：解：由题意，圆C₂的圆心为双曲线的右焦点
∵|AB|=

3

，圆的半径为1
∴|BC₂|=2
设B的坐标为（x，y），（x＞0）
∵双曲线的右准线为x=

1

3

∴

2

x- 1 3

=3
∴x=1
∴B（1，0）
设AB的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0
∵斜率为k（k＞0）直线l与圆C₂相切
∴

|2k|

k2+1

=1（k＞0）
解得k=

3

3

故选C．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题的关键是确定B的坐标，利用直线与圆相切建立方程．