Question

自原点O做圆（x-1）²+y²=1的不重合两弦OA，OB若|OA|•|OB|=k（定值），那么不论A，B两点位置怎样，直线AB恒切与一个定圆，并求出定圆方程．

Answer 1

分析：设AB边上的高为h，则△AOB的面积S=

1

2

|AB|•h，再利用S=

1

2

|OA|•|OB|•sin∠AOB，即可得到结论．

解答：解：由题意，圆（x-1）²+y²=1是△AOB 的外接圆，半径为1，根据正弦定理：|AB|=2Rsin∠AOB=2sin∠AOB
设AB边上的高为h，则△AOB的面积S=

1

2

|AB|•h=h•sin∠AOB
∵S=

1

2

|OA|•|OB|•sin∠AOB=

1

2

ksin∠AOB
∴h=

k

2

为定值
即O到AB的距离为定值

k

2

∴直线AB与以原点为圆心，

k

2

为半径的圆相切，圆的方程为x²+y²=

k2

4

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．