Question

如图，向量

OA

和

OB

被矩阵M作用后分别变成

OA′

和

OB′

，
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）并求y=sin（x+

π

3

）在M作用后的函数解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）二阶矩阵把点变换成点，利用待定系数法及二阶矩阵与平面列向量的乘法，可求矩阵M，
（Ⅱ）二阶矩阵把点变换成点，借此又可解决坐标变换问题，注意变换前后点的坐标间的关系；

解答：解：（Ⅰ）设M=

a b c d

，
∵

OA

=(1，1)，

OB

 =(1，2)矩阵M作用后分别变成

OA′

=（2，2），

OB′

=（2，4），
∴用待定系数求得M=

2 0 0 2

；
（Ⅱ）∵M=

2 0 0 2

，
∴

x= x′ 2 y= y′ 2

，解得

x′=2x  y′=2y

，
再坐标转移法得y′=sin（

x

2

+

π

3

）

点评：由矩阵M确定的变换，通常记为T_M，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T_M，的作用下得到一个新的图形．通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键．