题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的焦距为2，且过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为
，右焦点为
，直线
与椭圆交于
，
两点，问是否存在直线，使得为
的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中
的关系和已知，可以求出椭圆方程；
（2）设直线
的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.
解：（1）由已知可得：
解得
，
，
，
所以椭圆
：.
（2）由已知可得，
，
，∴
，∵
，
设直线的方程为：
，代入椭圆方程整理得
，设
，
，
则
，
，
∵
，∴
.
即
，
因为
，
，
即
.
.
所以
，
或
.
又时，直线过
点，不合要求，所以.
故存在直线：满足题设条件.
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