Question

【题目】已知函数.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞2的解集；

(2)若对任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) .(2) [－1，2＋]．

【解析】

（1）对分情况讨论，去绝对值处理，从而求解出结果；

（2）对任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，即求函数，根据绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值为|a|，故原不等式等价于|a|≥a3－3a－3，分情况讨论，进行求解。

(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.

,当x≤1时，f(x)＝1－x＋2－x＝3－2x，

由f(x)＞2可得，

即

解得x＜；

,当1＜x≤2时，f(x)＝x－1＋2－x＝1，

此时f(x)＞2无解；

,当x＞2时，f(x)＝x－1＋x－2＝2x－3，

此时由f(x)＞2可得，

即，

解得x＞。

综上，可得不等式f(x)＞2的解集为。

(2)因为f(x)＝|x－a|＋|x－2a|≥|(x－a)－(x－2a)|＝|a|，

故f(x)取得最小值|a|，

因此原不等式等价于|a|≥a3－3a－3。

，当a≥0时，有a≥a2－3a－3，

即a2－4a－3≤0，

解得2－≤a≤2＋，

此时有0≤a≤2＋；

，当a＜0时，有－a≥a2－3a－3，

即a2－2a－3≤0，

解得－1≤a≤3，

此时有－1≤a＜0。

综上，可知a的取值范围是[－1，2＋]。