Question

设函数f（x）=mx²-mx-6+m．若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，则实数x的取值范围是

（-1，2）

．

Answer 1

分析：把原函数整理成关于m的一次函数，利用一次函数的单调性求得函数在[-2，2]上的最大值，令最大值小于0，可得x的范围．

解答：解：函数可整理为f（x）=（x²-x+1）m-6
∵对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，
∴（x²-x+1）m-6＜0恒成立．
令g（m）=（x²-x+1）m-6
则函数g（m）在区间[-2，2]上的最大值小于0，
∵g（m）为一次函数，且一次项系数x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0
∴函数g（m）在区间[-2，2]上单调递增，
∴[g(m)]max=g(2)=2x2-2x-4
∴2x²-2x-4＜0
解得-1＜x＜2
故正确答案为：（-1，2）

点评：本题主要考查了利用函数的单调性求函数最大值．在把恒成立问题转化为求函数的最值问题的过程中，体现了转化的思想．