题目内容
（2012•天河区三模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）若VP-BCDE=2VQ-ABCD，试求
| CP | CQ |
分析：（Ⅰ）证明AD⊥PE，AD⊥BE，利用线面垂直的判定，即可证明AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连接OQ，利用三角形中位线的性质，证明OQ∥PA，即可证明PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）利用VP-BCDE=2VQ-ABCD，且底面积SBCDE=
SABCD，即可求得结论．
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连接OQ，利用三角形中位线的性质，证明OQ∥PA，即可证明PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）利用VP-BCDE=2VQ-ABCD，且底面积SBCDE=
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解答：
（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，PA=PD，
所以AD⊥PE． …（1分）
因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE． …（2分）
因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE． …（4分）
（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连接OQ．…（5分）
因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．
所以OQ∥PA． …（7分）
因为PA?平面BDQ，OQ?平面BDQ． …（8分）
所以PA∥平面BDQ． …（9分）
（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，
所以VP-BCDE=
SBCDEh1，VQ-ABCD=
SABCDh2． …（10分）
因为VP-BCDE=2VQ-ABCD，且底面积SBCDE=
SABCD． …（12分）
所以
=
，…（13分）
因为
=
，所以
=
． …（14分）
（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE． …（1分）
因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE． …（2分）
因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE． …（4分）
（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连接OQ．…（5分）
因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．
所以OQ∥PA． …（7分）
因为PA?平面BDQ，OQ?平面BDQ． …（8分）
所以PA∥平面BDQ． …（9分）
（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，
所以VP-BCDE=
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| 3 |
因为VP-BCDE=2VQ-ABCD，且底面积SBCDE=
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所以
| h1 |
| h2 |
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| 3 |
因为
| h1 |
| h2 |
| CP |
| CQ |
| CP |
| CQ |
| 8 |
| 3 |
点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查棱锥的体积计算，解题的关键是正确运用线面平行、垂直的判定方法，掌握棱锥的体积公式，属于中档题．
练习册系列答案
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