Question

北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为分，规定测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．
现从某校高三年级的名学生中随机抽取名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：

（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；
（Ⅱ）根据以上名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取名学生，再从这名学生中选出人．
（ⅰ）求在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率；
（ⅱ）求选出的名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率．

Answer 1

（Ⅰ）100；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的30名学生中体质优秀的有10人，所以优秀率为，用总数乘以优秀率即可得优秀的总人数。（Ⅱ）由茎叶图可知抽取的30名学生中体质优秀的有10人，体质为良好的15人。所以样本中体质为优秀和良好的学生的比为。分层抽样的特点是在各层按比例抽取，所以抽取的5人中有3人体质为良好有2人体质为优秀。（ⅰ）和（ⅱ）中的概率均属古典概型，用例举法分别求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数即可。
试题解析：解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．   3分
（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 ．
所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．                6分
（ⅰ）设在抽取的名学生中体质为良好的学生为，，，体质为优秀的学生为，．
则从名学生中任选人的基本事件有，，，，，，，，，个，其中“至少有名学生体质为优秀”的事件有，，，，，，， ，个．
所以在选出的名学生中至少有名学生体质为优秀的概率为．      10分
（ⅱ）“选出的名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数”的事件有，，个．
所以选出的名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率为．13分