Question

圆心C在直线l₁：y=-2x上，且与直线l₂：y=1-x相切于点T（2，-1），求圆C的方程．

Answer 1

分析：由题意圆C与直线l₂相切于点T，根据圆的切线性质得到过T且与直线l₂垂直的直线l过圆心C，故由两直线垂直时斜率的乘积为-1，由直线l₂的斜率求出直线l的斜率，再由T的坐标，确定出直线l的方程，又圆心C在直线l₁，所以将直线l与直线l₁的方程联立，组成方程组，求出方程组的解得到圆心C的坐标，再由两点间的距离公式求出|TC|的长即为圆的半径，由圆心和半径写出圆C的方程即可．

解答：解：∵圆C直线l₂：y=1-x相切于点T（2，-1），
∴过切点且与直线l₂垂直的直线l的方程为y+1=x-2，即y=x-3，
又圆心C在直线l₁：y=-2x上，
联立得：

y=x-3① y=-2x②

，
消去y得：x-3=-2x，
解得：x=1，
把x=1代入②得：y=-2，
∴圆心C坐标为（1，-2），又切点T（2，-1），
∴半径|TC|=

(1-2)2+(-2+1)2

=

2

，
则圆C的方程为（x-1）²+（y+2）²=2．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：切线的性质，两直线的交点坐标，两直线垂直时斜率满足的关系，两点间的距离公式，以及圆的标准方程，解本题的关键是确定出过切点且与直线l₂垂直的直线l的方程，进而得到圆心C的坐标．