Question

（2007•青岛一模）已知f（x）=

2

3

x3-2ax2-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若y=f（x）的极大值点与极小值点之差为2a-3，试求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）在区间（-1，1）上为减函数，则f'（x）≤0在区间（-1，1）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用导数求出函数的极大值和极小值，然后由极大值点与极小值点之差为2a-3，求a．

解答：解：（I）∵f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x∴f′(x)=2x2-4ax-3…（2分）
因为f（x）在区间（-1，1）上为减函数，所以f'（x）≤0在区间（-1，1）上恒成立；
∵f'（x）是开口向上的抛物线，故只须

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

⇒-

1

4

≤a≤

1

4

…（5分）
（II）f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x∴f′(x)=2x2-4ax-3；

由f′(x)=2x2-4ax-3=0 ⇒x1=a- 1 2 4a2+6 ，x2=a+ 1 2 4a2+6 ，

且x₁＜x₂…（7分）
于是f'（x）=2x²-4ax-3=2（x-x₁）（x-x₂）
当x∈（-∞，x₁）时，f'（x）＞0，∴f（x）为增函数；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，∴f（x）为减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）为增函数；…（10分）
所以x₁为极大值点，x₂为极小值点，
故x1-x2=(a-

1

2

4a2+6

)-(a+

1

2

4a2+6

)=-

4a2+6

=2a-3⇒a=

1

4

…（12分）

点评：本题主要考查函数的单调性与极值之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．