题目内容

19.如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记

BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.

                      图6

（1）求V(x)的表达式；

（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值

解：(1)已知EFAB,那么翻折后，显然有PEEF,又PEAE,从而PE面ACFE,即PE为四棱锥的高。

四棱锥的底面积S=-

而△BEF与△BDC相似，那么

===

则S=-=（1-）63=9（1-）

故四棱锥的体积V(x)=Sh=9（1-） x =3x（1-）(0＜x＜3)

(2) = 3-x2(0＜x＜3)

令=0得x=6

当x∈(0，6)时，＞0,V(x)单调递增；x∈(6，3)时，＜0,V(x)单调递减；因此x=6时， V(x)取得最大值。V(x)max= V(6)=12

(3).

练习册系列答案
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如图1，在等腰△ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，CD=BE=
2
，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′-BCDE，其中A′O=
3
．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；      
（2）求A′D与平面A′BC所成角的正弦值．
（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，CD=BE=
2
，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′-BCDE，其中A′O=
3
．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值．
如图1，在等腰△ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，CD=BE=
2
，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′-BCDE．若A′O⊥平面BCDE，则A′D与平面A′BC所成角的正弦值等于（　　）
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A、
2
3
B、
3
3
C、
2
2
D、
2
4

如图(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥，其中．

(Ⅰ)证明：平面BCDE；

(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值．

如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′-BCDE，其中A′O=．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值．

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