Question

如图(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥，其中．

(Ⅰ)证明：平面BCDE；

(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)在图(1)中，易得

　　连结，在中，由余弦定理可得

　　

　　由翻折不变性可知，

　　所以，所以，

　　理可证，又，所以平面．

　　(Ⅱ)传统法：过作交的延长线于，连结，

　　因为平面，所以，

　　所以为二面角的平面角．

　　结合图1可知，为中点，故，从而

　　所以，所以二面角的平面角的余弦值为．

　　向量法：以O点为原点，建立空间直角坐标系O－xyz如图所示，

　　则，，

　　所以，

　　设为平面的法向量，则

　　，即，解得，令，得

　　由(Ⅰ)知，为平面的一个法向量，

　　所以，即二面角的平面角的余弦值为．