Question

已知点（1，）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=+（n≥2）．记数列{}前n项和为T_n，
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+＞T_n恒成立，求实数t的取值范围
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为点 是函数f（x）=a^x的图象上一点，所以a=，所以f（x）=，即可得到数列的前3项，进而求出数列的首项与公比，即可得到数列{a_n}的通项公式；
因为 =，所以数列{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以得到S_n，利用b_n=S_n-S_n-1求出答案．
（2）利用裂项相消的方法可得：T_n=；进而把原不等式化简为：当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt＞0恒成立；设g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，然后利用函数的有界性解决恒成立问题即可得到答案．
（3）利用T₁，T_m，T_n成等比数列，得T_m²=T₁•T_n得到，，最后结合1＜m＜n知，m=2，n=12即可．
解答：解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=，
所以 ，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=
因为数列{a_n}是等比数列，所以 ，所以c=1．
又公比q=，所以 ；
由题意可得：=，
又因为b_n＞0，所以 ；
所以数列{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有 ；
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2n-1；
所以b_n=2n-1．
（2）因为数列 前n项和为T_n，
所以
=
=；
因为当m∈[-1，1]时，不等式 恒成立，
所以只要当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt＞0恒成立即可，
设g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，
所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[-1，1]上恒成立即可，
所以，
解得t＜-2或t＞2，
所以实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（3）T₁，T_m，T_n成等比数列，得T_m²=T₁•T_n
∴，
∴
结合1＜m＜n知，m=2，n=12（14分）
点评：本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．