Question

如图，在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，有很多大家熟悉的性质，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|²+|AC|²=|BC|²”和“

1

|AD|2

=

1

|AB|2

+

1

|AC|2

”等，由此联想，在三棱锥O-ABC中，若三条侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，可以推出哪些结论？至少写出两个结论．

Answer 1

（以下仅供参考，不同结论请酌情给分．每个正确结论给（2分），证明给5分）  可以得出有以下结论：
（Ⅰ）三个侧面OAB、OAC、OBC两两互相垂直（或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB）
（Ⅱ）

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OB2

+

1

OC2

（H为△ABC的重心）
（Ⅲ）S_△OAB²+S_△OAB²+S_△OBC²=S_△ABC²
以下给出具体的证明：
（1）证明：∵OA⊥OC，OB⊥OC∴OC⊥平面OAB
∴平面OAC⊥平面OAB  平面OBC⊥平面OAB 同理可证平面OBC⊥平面OAC



（2）证明：如图连接AH并延长AH交BC于D连接OD
∵OA⊥面OBC∴OA⊥OD
在Rt△ABC中∵OH⊥OD∴OH•AD=AO•OD
∴OH²•AD²=AO²•OD²
又∵AD²=OA²+OD²∴

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OD2

∵AD⊥BC，由三垂线定理得：BC⊥OD
∴在Rt△OBC中  OD²•BC²=BO²•CO²
∴OD²=

BO2•CO2

BC2

又∵BC²=BO²+CO²
∴

1

OD2

=

1

BO2

+

1

CO2

②由①②得：

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OB2

+

1

OC2

（Ⅳ） 证明：如图（延用（Ⅸ）中的字母a，b，c）∵H为垂心∴AD⊥BC
又∵OA、OB、OC两两垂直∴S_△OAB=

1

2

ab   S_△OBC=

1

2

bc  S_△OAC=

1

2

ac  
S_△ABC=

1

2

BC•AD
∴S_△OAB²+S_△OAC²+S_△OBC²=

1

4

（ a² b²+b² c²+a² c²）=

1

4

a²（b²+c²）+

1

4

b² c²…①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC∴OB²•OC²=b² c²=OD²•BC²=OD²•（b²+c²）…②
∴②代入①得：S_△OAB²+S_△OBC²+S_△OAC²=

1

4

（b²+c²）•AD²=

1

4

BC²•AD²=S_△ABC²