Question

已知函数f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

（其中x∈R），求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x ）的解析式为 5sin（2x-

π

3

），故此函数的周期为 T=

2π

2

=π．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围即为增区间，由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围即为减区间．
（3）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z 求得对称轴方程：x=

kπ

2

+

5π

12

，由 2x-

π

3

=kπ，k∈z 求得对称中心（

kπ

2

+

π

6

，0）．

解答：解：（1）函数f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

=

5

2

sin2x-

5 3

2

(1+cos2x)+

5

2

3

=5（

1

2

 sin2x-

3

2

cos2x）=5sin（2x-

π

3

），故此函数的周期为 T=

2π

2

=π．   
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
故增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，
故减区间：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，其中k∈z．
（3）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z 可得 x=

kπ

2

+

5π

12

，故对称轴方程：x=

kπ

2

+

5π

12

．
由 2x-

π

3

=kπ，k∈z 可得 x=

kπ

2

+

π

6

，故对称中心：（

kπ

2

+

π

6

，0），其中，k∈z．

点评：本题考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、周期性、对称性，把函数f（x）的解析式化为 5sin（2x-

π

3

） 是解题的突破口，属于中档题．